二次函数和菱形存在性问题通用解法-初中数学题解视频我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是①四边都相等的四边?

二次函数和菱形存在性问题通用解法-初中数学题解视频
我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是
①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.
在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.
二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”强敌们，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，因此我在研究了近些年中考真题之后尝试性的总结一下菱形存在性问题的通用解法，以供大家参考.
纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.
一解题模型
铺垫1：等腰三角形的构造方法
点A和点B为平面内的两个定点，点C为水平直线上的一个动点，要使△ABC为等腰三角形，请利用尺规作图的方法作出点C的位置.

图1是以AB为底边（AC和BC为腰）雅乐士漆，作出线段AB的垂直平分线交直线于点C1；
图2是以AB为腰，以点A为圆心，以AB长度为半径作圆，交直线于点C2；
图3是以AB为腰，以点B为圆心，以AB长度为半径作圆，交直线于点C3、C4；
我们把上述作图方法简称为“两圆一中垂”.
铺垫2：平行四边形顶点坐标公式
根据平行四边形的性质对角线互相平分，可以知道点O为线段AC和线段BD的中点。


①两定点确定的线段为边作菱形
如图所示，点A和点B为平面内两个定点，点C是直线l上一个动点行运超人粤语 ，点D是平面内的一个动点.
以AB为菱形的边，请作出符合题意的菱形.


作图方法：由于点D是平面内的任意一个动点，意味着该点需要借助其它的点才能确定下来大话捧逗，因此，我们第一步先确定动点C的位置.要想使以AB为边的四边形是菱形，根据菱形的判定方法3我们可以确定△ABC是以AB为腰的等腰三角形，因此我们可以借助等腰三角形存在性知识，来确定点C的位置.确定方法具体如下：
以点A为圆心，以AB长度为半径画圆，交直线l于点C1和C2.
接下来需要确定点D的位置.以BC为对称轴作点A关于BC的对称点D，由于点C有两个点，确定下来的点D有两个.


再以点B为圆心，BA长度为半径画圆，交直线l于点C3和C4，利用同样的方法作出点D3和D4.
解题策略：
第一步：确定点C的坐标
设出点C坐标，利用两点间距离坐标公式，表示出AB、AC、BC的长度.
当AB=AC时，章丽厚列出方程，求出点C的坐标；
当BA=BC时，列出方程工口漫画h，求出点C的坐标.
第二步：确定点D的坐标
根据平行四边形顶点坐标公式
可求出点D的坐标.
②两定点确定的线段为对角线作菱形
如图所示，点A和点B为平面内两个定点，点C是抛物线上一个动点柔术吧，点D是平面内的一个动点.
点C关于AB的对称点为点D，请作出所有符合题意的图形.


作图方法：第一步：作出AB的垂直平分线；第二步：作点C关于AB对称点D.
解题策略：
第一步：求出AB的中点坐标和AB的斜率k，利用两直线垂直，斜率乘积为﹣1这个结论，设直线CD的解析式为y=﹣1/k+b，再把AB中点坐标代入上式，解出b的值.求出CD解析式.
第二步：联立直线CD和抛物线黑岩阁，可以解得点C的坐标；
第三步：确定点D的坐标
根据平行四边形顶点坐标公式
可求出点D的坐标.
二 例题精讲
题型一确定对角线
【例1】（难度等级☆）如图曹晓雯，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB解析式为y=﹣2x﹣1，与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．且过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1，P为抛物线上一点铃木奈奈，它关于原点的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．



【例2】（2016?陕西一模）如图，在平面直角坐标系中廖有梁，二次函数y=x2﹣3x﹣4的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P德德玛简历，使四边形POP′C为菱形？若存在罗瑞康，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．



【例3】（2016?黔西南州）如图，二次函数y=﹣x2+3x+4的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C（0，4），P为抛物线上一点柳小海，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时血必净，求点P的坐标；










题型三 边和对角线均不确定
【例5】（2018?齐齐哈尔）如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2﹣3x+4经过点A，C．如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．若点P恰好是线段MN的中点付小芳，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形井底望天？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

全文详见：https://bbs.6596.org/8512.html

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